“Μαθηματικά και Αγωγή του Πολίτη του 21ου αιώνα” εισήγηση στην 6η Διεθνή Μαθηματική Εβδομάδα

“Μαθηματικά και Αγωγή του Πολίτη του 21^ου αιώνα” προσδιορίζοντας περιεχόμενο στη «Μαθηματική Εκπαίδευση» του 21^ου αιώνα: προοπτικές, τάσεις, προβληματισμοί 

Αγγελική Χ. Χρονοπούλου*

Δήμος Βαρόπουλος*

Για να «διαβάσουμε» - ερμηνεύσουμε τον κόσμο που μας περιβάλλει μέσα από τα Μαθηματικά: «Μαθηματικά και Τέχνη»

1. εννοιολογικές διασαφηνίσεις

Αρχικά θα επικαλεστώ την αναφορά του Aslaksen (2005) με την οποία αποτιμώντας το έργο του για τα «Μαθηματικά και Τέχνη» σημειώνει «δυστυχώς, αισθάνομαι ότι οι Μαθηματικοί είναι γενικά αδιάφοροι, η καλλιτεχνική κοινότητα είναι συνήθως απορριπτική, και οι μαθητές και το ευρύ κοινό μερικές φορές φαίνεται σαν να περίμεναν κάτι περισσότερο»[1]...

Με βάση αυτή τη διαπίστωση ο Aslaksen στο άρθρο του (2005) ως αντίλογο στα μαθήματα “Μαθηματικά και Τέχνη” αναφέρεται σε 10 από τα προβλήματα – “παγίδες” που ανακύπτουν, όπως τα αντιλήφθηκε με βάση την ακαδημαϊκή – διδακτική εμπειρία του και προτείνει και λύσεις για την άρση τους.

Αρχικά ορίζει το πεδίο «Μαθηματικά και Τέχνη» και το διασαφηνίζει εννοιολογικά κατηγοριοποιώντας το στις εξής 4 κατηγορίες τις οποίες και αναλύει[2]:

Μαθηματικά στην Τέχνη

Μαθηματική Τέχνη

Μαθηματικά ως Τέχνη

Μαθηματικά είναι Τέχνη

Ενδεικτικά για το ζήτημα της κατηγοριοποίησης, με βάση την ακαδημαϊκή εμπειρία του, ως διδάσκων, στο National University  της Σιγκαπούρης, μαθήματα για τα «Μαθηματικά στην Τέχνη και στην Αρχιτεκτονική»[3], και από την επίβλεψη της σχετικής έκθεσης «Mathematics in Art: An Exhibition at the Singapore Art Museum» (Siu Mee Lin 2001/2002), προηγήθηκε η αναφορά του Aslaksen (2003) στην βιβλιοκριτική των πρακτικών της Διημερίδας στα “Μαθηματικά και Τέχνη” (Bruter 2002) πραγματοποιήθηκε Maubeuge (Γαλλία) το Σεπτέμβριο του 2000.

Αν και η κατηγοριοποίησή του (Aslaksen 2005) αναγνωρίζεται από τον ίδιο ως υποκειμενική αφού αντικατοπτρίζει τις εμπειρίες του, την καταθέτει ελπίζοντας να χρησιμεύσει ως πλαίσιο αναφοράς στη συζήτηση «Μαθηματικών και Τέχνη», και τη νοηματοδοτεί ως εξής:

«Μαθηματικά στην Τέχνη» αναφέρεται σε θέματα όπως η προοπτική στη ζωγραφική, η συμμετρία στη διακοσμητική τέχνη και μουσικές κλίμακες. Αυτό είναι ένα υλικό που μπορεί να εκτιμήσει το ευρύ κοινό ακόμη και οι λιγότερο ειδήμονες σε θέματα τέχνης[4].

«Μαθηματική Τέχνη» περιλαμβάνει τα έργα του Escher και άλλων καλλιτεχνών που δείχνουν ανάλογη μαθηματική κλίση, οι οποίοι προσελκύουν το ενδιαφέρον των  μαθηματικών, αλλά κάποιες φορές αγνοούνται από την καλλιτεχνική κοινότητα[5].

«Μαθηματικά ως Τέχνη» αναφέρεται σε οπτικοποιημένα μαθηματικά. Με τη χρήση γραφικών στον υπολογιστή, οι μαθηματικοί στη συνέχεια είναι σε θέση να δημιουργήσoυν εκπληκτικά γραφικά.[6]

«Μαθηματικά είναι Tέχνη» αναφέρεται στην άποψη που υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά που είναι μια τέχνη δεν είναι επιστήμη.

2. διδακτικές πρακτικές (εκπαιδευτικό υλικό, εκπαίδευση εκπαιδευτικών και εκπαιδευτών, πηγές)

Η 2^η πρακτική αναφορά πηγάζει από τον καθηγητή της κατανόησης της επιστήμης από το κοινό στο Oxford University του Ηνωμένου Βασιλείου μαθηματικό Marcus du Sautoy που δηλώνει ότι «Τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα της επιστήμης» και ένας μαθηματικός, όπως ο ίδιος, είναι ο κατάλληλος άνθρωπος στην κατάλληλη θέση για να προσεγγίσει το κοινό τα Μαθηματικά.

Μάλιστα στο πλαίσιο των ακαδημαϊκών δραστηριοτήτων του παρουσιάζει (ο ίδιος ή μια ομάδα φοιτητών) εργαστήρια, δραστηριότητες και συζητήσεις για Μαθηματικά σε ένα ευρύ φάσμα κοινού.

Στο κοινό του τον κεντρικό ρόλο κατέχουν οι μαθητές και οι εκπαιδευτικοί (Α/θμιας και Β/θμιας εκπαίδευσης) με στόχο να τους εμπνεύσει να «διαβάσουν» - ερμηνεύσουν τον κόσμο που μας περιβάλλει μέσα από τα Μαθηματικά. Επιπλέον συμβάλει στο να διδάσκονται τα Μαθηματικά «(…) πολύ διαφορετικά από τα μαθηματικά που έμαθα στο σχολείο. Ο Marcus μου εξηγεί: «Αυτό συμβαίνει γιατί τα μαθηματικά που διδάσκονται στο σχολείο είναι σαν την γραμματική και το λεξιλόγιο της γλώσσας και όχι σαν τις ιστορίες ή τη λογοτεχνία. Τα παιδιά τελειώνουν το σχολείο χωρίς να καταλαβαίνουν ότι υπάρχουν φανταστικές ιστορίες με τους πρώτους αριθμούς[7]^w3, για την τοπολογία, τη γεωμετρία και τη συμμετρία - ξέρουν μόνο τα ημίτονα και τα συνημίτονα και τα ποσοστά. (…)»[8].

Ο Marcus, όπως αναφέρεται στη συνέντευξη (du Sautoy Marcus 2012), πιστεύει ότι τα μαθηματικά επηρεάζουν ακόμα και το πώς αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο. «Ο περισσότερος κόσμος νομίζει ότι τα μαθηματικά είναι διαιρέσεις με πολλούς δεκαδικούς. Στην πραγματικότητα, όμως, ο μαθηματικός ασχολείται με τη δομή και το σχέδιο – και κατά μία έννοια έτσι διαβάζει ο καθένας τον κόσμο: είμαστε όλοι μαθηματικοί βαθιά μέσα μας. Κομμάτι της αποστολής μου είναι να αποκαλύψω στους ανθρώπους ότι αν, για παράδειγμα, τους αρέσει να ακούν μουσική, προφανώς ακούν μουσική με ένα μαθηματικό τρόπο, εντοπίζοντας πρότυπα και δομές που είναι παρόμοια, αλλά αλλαγμένα – ίσως με ένα συμμετρικό τρόπο, αντεστραμμένα» [9].

Το ότι οι Φυσικές επιστήμες πολύ συχνά στηρίζονται στα μαθηματικά για να διατυπώσουν τις ανακαλύψεις τους αλλά και τις προβλέψεις τους είναι πλέον μια διαπίστωση κοινής αποδοχής.

Μετά από αυτά τα παραπάνω ενδεικτικά αποσπάσματα είναι προφανές ότι η συμμετρία είναι η «απάντηση» στα προβλήματα κατανόησης των φαινομένων και του κόσμου που μας περιβάλει.

Ετερόκλητα στοιχεία τέχνης, πολιτισμού, δραστηριοτήτων στηρίζονται στα Μαθηματικά ώστε σε μεγάλο βαθμό η συμμετρία που περιγράφεται με μαθηματικούς όρους να μας επιτρέπει να βελτιώσουμε ή και να αλλάξουμε το αποτέλεσμα μέσω ενός άλλου αποδοτικότερου μετασχηματισμού.

Και ναι μεν στη φύση μπορεί να επιβεβαιώνεται η συμμετρία, τα φυτά, στα ζώα, στους ανθρώπους αλλά και στα έργα των ανθρώπων όπως είναι για παράδειγμα τα έργα τέχνης αλλά θα επισημάνουμε πως ο καταλύτης για την εξέλιξη είναι η ασυμμετρία. Εδώ θα αναφέρουμε ενδεικτικά μόνο  το παράδειγμα, του Big Bang σύμφωνα με το οποίο η ζωή προήλθε από «Μια ανεξήγητη διάσπαση της συμμετρίας κατά τη γέννηση του σύμπαντος. Στο Big Bang, αν και είχε δημιουργηθεί τόση ύλη όση και αντιύλη, εξαϋλώθηκαν κατά την επαφή τους. Όμως, η μικροσκοπική υπεροχή της ύλης (1 σωματίδιο ύλης για κάθε 10 δισεκατομμύρια σωματίδια αντιύλης) ήταν αρκετή για να υπερισχύσει η ύλη έναντι της αντιύλης. Αυτή η περίσσεια της ύλης γέμισε το σύμπαν με γαλαξίες, άστρα, πλανήτες και τη ζωή»[10].

Πάρα πολλά, όμως, είναι τα παραδείγματα τού πως «διαβάζεται» το «βιβλίο της φύσης» με τα Μαθηματικά και με βάση αυτή τη διδακτική πρακτική οι μαθητές μετέχουν στη «μαγεία» των Μαθηματικών για να μην αντιμετωπίζονται ως μια «άγνωστη» και εκτός σχολείου «νεκρή» γλώσσα.

Ενδεικτικά κάποια από αυτά τα παραδείγματα αναφέρει στη συνέντευξη του και ο Marcus όπως επίσης αναφέρει και πηγές[11]. Επισημαίνουμε για παράδειγμα το Nrich Maths Project από το Πανεπιστήμιο του Cambridge στο επίπεδο Advanced STEM που περιλαμβάνει τις ενότητες: Τα Μαθηματικά συναντούν τη Βιολογία, τη Χημεία, την Αστρονομία, τις Γεωλογικές Επιστήμες, την εφαρμοσμένη Μηχανική http://nrich.maths.org/stemnrich [12].

Επιπλέον, ο Marcus και ένας φίλος του σκέφτηκαν μία φιλόδοξη ιδέα, για να φέρουν τα μαθηματικά στη ζωή των νέων. Έτσι μετατρέπουν όλα τα μαθηματικά του αναλυτικού προγράμματος σε παιχνίδια στο διαδίκτυο[13]. Μάλιστα τονίζει ότι οι εκπαιδευτικοί «Μπορούν να αναθέσουν κάποια από τα παιχνίδια ως εργασία για το σπίτι γνωρίζοντας ότι τα παιδιά δεν μπορούν να σκοράρουν όλους τους πόντους χωρίς να έχουν καταλάβει μαθηματικά».[14]

Στα δικά μας όσο αφορά τη «Ζωγραφική και Φυσική του Περιβάλλοντος» ενδεικτική είναι η διάλεξη των Ακαδημαϊκών Παναγιώτη Τέτση (εικαστικού) και Χρήστου Ζερεφού (καθηγητή Φυσικής της Ατμόσφαιρας) με την οποία παρουσίασαν «τα αποτελέσματα του ιδιαίτερα ενδιαφέροντος πειράματος στο οποίο συμμετείχαν με αντικείμενο την καταγραφή μοναδικών περιβαλλοντικών πληροφοριών μέσα από την μελέτη των χρωμάτων του ουρανού που αποτύπωσαν διάσημοι ζωγράφοι τους τελευταίους πέντε αιώνες, αναπαριστώντας εκατοντάδες δύσεις του ηλίου»[15]. Έτσι όπως τα απέδωσαν στους πίνακές τους διάσημοι ζωγράφοι των περασμένων πέντε αιώνων (Τέρνερ, Ντεγκά, Κλιμτ, Ρενουάρ, Ρόμπινσον, Ντελακρουά, Μονέ, Ρούμπενς, Ρέμπραντ, βαν Ντάικ κ.ά.).

3. «αντισταθμιστικά» μέτρα: το παράδειγμα του «the Algebra Project»

Με την ευκαιρία της εισήγησης μας αυτής στην 6^η διεθνή Mαθηματική εβδομάδα 2014 που διοργανώνεται από το Παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας της ΕΜΕ θα αναφερθούμε στην πρότασή μας για «αντισταθμιστικά» μέτρα[16] που αφορά στο σύνολο των μαθητών και κυρίως σε όσους οι επιδόσεις τους υπολείπονται των απαιτήσεων για την εισαγωγή σε μια πανεπιστημιακή σχολή. Ενδεικτικά θα αναφέρουμε το παράδειγμα του «the Algebra Project»[17].

Τελικά το μότο «math literacy is the key to 21st-century citizenship» στην ιστοσελίδα  του «the Algebra Project» επιβεβαιώνει πως στο κοντινό μέλλον στο ορισμό του αλφαβητισμού ένα ευρύ φάσμα των μαθηματικών δεξιοτήτων θα ενταχθούν στις παραδοσιακές δεξιότητες ανάγνωσης και γραφής. Η πρόβλεψη αυτή του ιδρυτή και εμπνευστή του «the Algebra Project» Bob Moses[18], ενεργό επίσης μέλος στον αγώνα για τα ανθρώπινα δικαιώματα στην τεχνολογική εποχή μας, επιβεβαιώνεται και από το ότι τα στατιστικά δεδομένα για την απασχόληση προβλέπουν αύξηση κατά 10% των θέσεων απασχόλησης για τα επαγγέλματα τα αποκαλούμενα STEM[19] δηλαδή όσα διαμεσολαβούνται άμεσα ή έμμεσα από τα Μαθηματικά

Για αυτό το λόγο υπάρχει αδήριτη ανάγκη το ζήτημα των ανθρωπίνων δικαιωμάτων να συσχετιστεί με τη μαθηματική εκπαίδευση. Στο ζήτημα αυτό θα αναφερθούμε στη συνέχεια.

II. «Μαθηματικά για τον Πολίτη του 21^ου αιώνα» ή «Μαθηματικά και Αγωγή του Πολίτη του 21^ου αιώνα»

II.1. Για να «διαβάσουμε» - ερμηνεύσουμε τον κόσμο που μας περιβάλλει μέσα από τα Μαθηματικά: Μαθηματικά για τον Πολίτη του 21^ου αιώνα» ή «Μαθηματικά και Αγωγή του Πολίτη του 21^ου αιώνα»

Μια αναφορά στο «the Algebra Project» μια και «λογική» του προσιδιάζει σε όσα έχουμε κατά νου να δρομολογήσουμε. Το πρόγραμμα αυτό συσπειρώνει σε ένα κοινό στόχο μαθητές, καθηγητές και γονείς, το στόχο η μαθηματική εκπαίδευση να είναι μια εκπαίδευση για τη δικαιοσύνη και τη διαφορετικότητα μέσα στη σχολική τάξη. Με δυο λόγια πρόκειται για «Μαθηματικά και Αγωγή του Πολίτη του 21^ου αιώνα». Οι απαντήσεις στα ερωτήματα «Τι είναι η άλγεβρα;» και «Γιατί θέλουμε τα παιδιά να σπουδάσουν;» ή «Τι πρέπει να συμπεριλάβουμε στην μαθηματική εκπαίδευση του κάθε μαθητή στο Γυμνάσιο – Λύκειο;» διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στο «the Algebra Project». Όσο για τα αποτελέσματα, ενδεικτικά ένας μαθητής (επώνυμα) για παράδειγμα δηλώνει: «Με έκαναν να δω τα μαθηματικά με διαφορετικό τρόπο», «Δεν μου άρεσαν [τα μαθηματικά], αλλά τώρα μου αρέσουν»[20].

Οι μαθηματικές δεξιότητες που αναπτύσσονται στο πλαίσιο του προγράμματος είναι σημαντικές όχι μόνο όσον αφορά την πρόσβασή τους στο κολέγιο (μεταλυκειακή εκπαίδευση) δηλαδή σχετίζονται με τη σταδιοδρομία και με το να επιτύχουν στην τεχνολογική εποχή μας, αλλά και για την πλήρη συμμετοχή τους στην οικονομική ζωή αυτής της κοινωνίας[21]. Και αυτές οι ευκαιρίες προϋποθέτουν για τους μαθητές ένα ισχυρό μαθηματικό υπόβαθρο στα συνεχώς αναπτυσσόμενα πεδία του λογισμικού υπολογιστών και των οικονομικών εφαρμογών[22]. Οι δεξιότητες που ενσωματώνονται στη διδασκαλία των μαθηματικών θα είναι οι δεξιότητες του 21ου αιώνα και εξασκούν την κριτική σκέψη των μαθητών, ώστε στο μέλλον να μπορούν να διατυπώνουν επιχειρήματα.

Στο σημείο αυτό θα επισημάνουμε ότι στο πλαίσιο του στόχου της αποδοχής και της ενσωμάτωσης σε αυτή την κοινωνία για τη συντριπτική πλειοψηφία των μαθητών μας ο στόχος αυτός καταλήγει σε βάρος τους, επομένως, κατά την άποψή μας, πρέπει ο στόχος να διευρυνθεί και προς την πλευρά της αλλαγής των κοινωνικών δομών και των ανατροπών προς χάρη μιας δίκαιης κοινωνίας για όλους.

Θα αναδείξουμε μια παράμετρο που δικαιώνει την εκτίμησή μας αυτή. Για παράδειγμα, τον Ιούλιο του 2012 ο Πρόεδρος των ΗΠΑ Μ. Ομπάμα πρότεινε τη δημιουργία ενός ειδικού σώματος μιας ελίτ καθηγητών τους τομείς STEM - επιστήμης, της τεχνολογίας, της μηχανικής και των μαθηματικών. Οι εκπαιδευτικοί που επελέγησαν για το πρόγραμμα θα έχουν ετήσιες αποδοχές 20.000 $. Το πρόγραμμα ξεκίνησε με άμεσα διαθέσιμα 100 εκατ. $ και συνολικό προϋπολογισμό 1 δις. $ για τους μισθούς τους [23].

Για να έχουμε, όμως, μια τάξη μεγέθους θα αναφέρω ένα ενδεικτικό στοιχείο (εμπειρικά) ένα χαμηλόμισθο στέλεχος της Goldman Sachs[24] αμείβεται με ετήσιο μισθό 105.000 $ (πέραν του bonus!) δηλαδή τελικά ο μισθός του διπλασιάζεται! Και ο μισθός της ελίτ των εκπαιδευτικών μόλις στο 1/10!!! στα 20.000 $ Τόσο αποτιμάται από όσους παίρνουν αποφάσεις για το μέλλον μας η δουλειά των εκπαιδευτικών (των υψηλόμισθων εκπαιδευτικών, της ελίτ των εκπαιδευτικών, γιατί υπάρχουν και οι άλλοι οι πολλοί με τους συνήθεις χαμηλούς μισθούς) και ενώ επιδιώκουν όπως δηλώνουν την αλλαγή του παραδείγματος!

Αλλά και η «Μαθηματική Εκπαίδευση» αλλάζει μέσα στη σχολική αίθουσα όταν το επίκεντρό της από το πλαίσιο αξιών –που ήδη έχει αμφισβητηθεί τόσο από τη Διδακτική των Μαθηματικών όσο και από τους εκπαιδευτικούς της πράξης που στράφηκαν εναντίον της παπαγαλίας αναζητώντας νέες μεθόδους διδασκαλίας των Μαθηματικών, διολισθαίνει σε ένα πλαίσιο το οποίο προκρίνει τα μαθηματικά ως ένα εργαλείο για να κατανοήσουμε και να διαμορφώσουμε πολιτιστικές, κοινωνικές και πολιτικές αξίες. Άλλωστε η συναίνεση εξασφαλίζεται μέσω της αποδοχής αξιών και κοινωνικών πρακτικών που καθορίζονται από την κυρίαρχη ομάδα που επιβάλλει την κοσμοθεωρία της μέσω συμβόλων, δομημένων γνώσεων, εξειδικευμένων γλωσσών και κοινωνικών πρακτικών πίσω από τις οποίες κρύβονται άνισοι συσχετισμοί προνομίων και εξουσίας.

Πώς, λοιπόν, οι μαθητές από την κατανόηση των μαθηματικών μετασχηματισμών, θα ενθαρρυνθούν να χρησιμοποιούν τα μαθηματικά για να κατανοήσουν τον κόσμο γύρω τους, έναν κόσμο που γεννά ερωτήματα που συνήθως δεν απασχολούν τις τάξεις των μαθηματικών και που η απάντησή τους σπάνια είναι απλή;

Αρχικά κάποιες απαντήσεις δίνει στο βιβλίο του ο Eric Gutstein (2006) «Reading and Writing the World with Mathematics: Toward a Pedagogy for Social Justice»[25] δηλώνοντας το πλαίσιο μέσα στο οποίο τα Μαθηματικά μπορούν να διαμορφώσουν την πολιτική και κοινωνιολογική συνείδηση των μαθητών.

Όπως επισημαίνεται (Mukhopadhuyay & Greer, 2007)[26] στα μαθηματικά, η λύση σε ερωτήματα, όπως για παράδειγμα: Κατά πόσο επηρεάζεται η εθνική οικονομία μιας χώρας από την απόφαση να πάει σε πόλεμο; Πόσο θα μεταβληθούν τα κέρδη των εταιρειών μετά τη παρέμβαση των εργατικών συνδικάτων υπέρ των εργαζομένων σε αυτές; Ποιες θα είναι οι οικονομικές επιπτώσεις για τις επιχειρήσεις, όταν μεταφερθούν τα εργοστάσια εκτός των ΗΠΑ; είναι απλή: εντοπίζοντας τον αλγόριθμο με την ολοκλήρωση των υπολογισμών η απάντηση είναι προφανής.

Σύμφωνα με την Κριτική Παιδαγωγική, όμως, που μελετά το ρόλο του σχολείου στη διατήρηση της κοινωνικής διαστρωμάτωσης αλλά και τις δυνατότητες για κοινωνική αλλαγή μέσα από το σχολείο η μάθηση είναι μια κοινωνικά και πολιτιστικά προσδιορισμένη δραστηριότητα[27]. Έτσι οι εκπαιδευτικοί αναδεικνύοντας τις συνέπειες, για την κοινωνία, της απόφασης που έλαβαν οι μαθητές με βάση, τη μαθηματική διαδικασία της “λήψης αποφάσεων”, τότε αυτοί μαθαίνουν να χρησιμοποιούν το πιο σημαντικό εργαλείο που έχουν στη διάθεσή τους για να αλλάξουν τη ζωή τους και τον κόσμο γύρω τους: την κατανόηση της κοινωνικής δικαιοσύνης μέσα από το φακό της μαθηματικής απόδειξης.

Ταυτόχρονα θέτοντας τη μαθηματική διαδικασία της “λήψης αποφάσεων”  στο πολιτικό και οικονομικό πλαίσιο, οι μαθητές αρχίζουν να αναγνωρίζουν ότι τα μαθηματικά τούς δίνουν τη δυνατότητα να εντοπίσουν και να αναγνωρίσουν την αδικία, να κατανοήσουν τo κοινωνικό κόστος και τα οφέλη της “λήψης αποφάσεων” σε παγκόσμιο επίπεδο, και να αναλάβουν δράση για να αλλάξει η κοινωνία (Mukhopadhuyay & Greer, 2007, Orey & Rosa, 2006)[28].

Παραταύτα τα μαθηματικά σπάνια αναγνωρίζονται ως ένα ισχυρό εργαλείο για κοινωνική αλλαγή. Η εκπαίδευση, όμως, είτε λειτουργεί  ως εργαλείο για να διευκολύνει την ενσωμάτωση στη λογική του υπάρχοντος συστήματος είτε συνιστά «πρακτική ελευθερίας» - πεδίο άσκησης της ελευθερίας, επιτρέποντας στους μαθητές να ασχοληθούν κριτικά και δημιουργικά με την πραγματικότητα και να ανακαλύψουν πώς να συμμετέχουν στην αλλαγή  του κόσμου τους. Ο Gutstein, λοιπόν, υποστηρίζει αποτελεσματικά και με διορατικότητα τη σύνδεση των μαθηματικών γνώσεων με το πολιτιστικό και βιωματικό υπόβαθρο των μαθητών, δίνοντάς τους τη δυνατότητα να αναπτύξουν τα εργαλεία της κριτικής σκέψης και της μαθηματικής αυστηρότητας, σε όλους τους τομείς της ζωής τους, μέσα και έξω από την τάξη (Gutstein, 2003, Gutstein, Lipman, Hernandez, & de los Reyes, 1997)[29].

Παραδειγματικά αναφέρουμε ότι ο Gutstein (2006) προετοιμάζει τους μαθητές του για τις εξετάσεις ενώ παράλληλα εξασκούνται στη μαθηματική σκέψη και την κατανόηση με βάση το ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών για τα Μαθηματικά. Συνδέοντας το αναλυτικό πρόγραμμα με ζητήματα που σχετίζονται με τους μαθητές, τη ζωή και τις οικογένειές τους, δίνει στους μαθητές του «δεδομένα» από εφημερίδες, βιβλία, αλλά και διαφημίσεις ενώ ταυτόχρονα τους εισάγει στους μαθηματικούς αλγόριθμους για την οργάνωση της σκέψης τους ώστε να αναγνωρίζουν αλλά και να αποδομούν τα υποδηλούμενα στοιχεία.

Οι μαθητές καλούνται να ανακατασκευάσουν τα «δεδομένα» και χρησιμοποιούν μαθηματική απόδειξη για να εξηγήσουν, και με βάση τις παρατηρήσεις τους στο πλαίσιο των δικών τους εμπειριών, το πώς τα χρήματα, οι κοινότητες και η πολιτική επηρεάζει τη ζωή τους και την κοινότητα Morningside. Τα μαθηματικά γίνονται ένα εργαλείο για να υποστηρίξουν ένα επιχείρημα και η τάξη των μαθηματικών γίνεται ένα μέρος για να συζητήσουν την πολιτική και την αλλαγή στο πλαίσιο της σύγχρονης κοινωνίας.

Έτσι αντί τα τεστ υψηλού ρίσκου να καθορίζουν το πρόγραμμα σπουδών στην τάξη, τα μαθηματικά εντάσσονται σε ένα εμπλουτισμένο πρόγραμμα σπουδών όπου αναγνωρίζεται και ενσωματώνεται η γνώση που οι μαθητές φέρνουν στην τάξη, έχοντας κατά νου βέβαια τα πρωτόκολλα των τυποποιημένων τεστ που οι μαθητές αναμένεται να περάσουν.[30]

II.2 Δύο αναφορές επιγραμματικά για να «διαβάσουμε» - ερμηνεύσουμε τον κόσμο που μας περιβάλλει μέσα από τα Μαθηματικά

Στο δελτίο ειδήσεων του Mega στις 5-1-2014 η σειρά των ειδήσεων ήταν η εξής[31]:

1η είδηση 3 χιλιάδες ευρώ Μιχάλη Λιάπη 6 λεπτά και 2 δευτερόλεπτα 4η είδηση 25 χιλιάδες ευρώ Τομπούλογλου 3 λεπτά και 33 δευτερόλεπτα 6η είδηση 26 εκατομμύρια ευρώ Κάντα κ.ά. 2 λεπτά και 50 δευτερόλεπτα

[η έμφαση με bold δόθηκε από μας]

Είναι προφανές πως η σειρά των ειδήσεων στο δελτίο του Mega δεν καθορίστηκε με βάση το ύψος του ποσού… Μάλιστα θα λέγαμε ότι η σειρά των ειδήσεων (όπως και η διάρκεια της είδησης) είναι αντιστρόφως ανάλογη των αριθμητικών ποσών που αναφέρει η είδηση.

Επισημαίνουμε πως ο παραπάνω πίνακας και σχετικό σχόλιο προβάλλονται στο editorial[32] του διαδικτυακού τόπου e-tetRadio.gr.

Στο πλαίσιο βέβαια της «Εκπαίδευσης στα ΜΜΕ» (media literacy) οι μαθητές θα εξοικειωθούν με το μήνυμα που προωθεί εμφανώς ή αφανώς αυτή η σειρά (και η διάρκεια) των ειδήσεων, αλλά αυτή η παράμετρος δεν αφορά στην εισήγησή μας αυτή.

Τον Μάρτιο του 2012, στο Ίδρυμα Ευγενίδου, ο Claude P. Bruter, ομότιμος Καθηγητής Πανεπιστημίου Paris XII, Πρόεδρος της Ευρωπαϊκής Ένωσης για τα Μαθηματικά και την Τέχνη (ESMA[33]), προσκεκλημένος ομιλητής της Ε.Μ.Ε.[34], παρουσίασε το πρόγραμμα ARPAM[35], που στοχεύει στη δημιουργία ενός χώρου, αρχιτεκτονικά σχεδιασμένου, ο οποίος θα είναι αφιερωμένος στο να κάνει τα μαθηματικά δημοφιλή[36].

Ένας τέτοιος χώρος θα μπορούσε να δημιουργηθεί σε μια δασώδη έκταση και να αποτελείται από πολλά μικρά περίπτερα, τα αποκαλούμενα στην αρχιτεκτονική folies, στα οποία θα εκτίθενται καλλιτεχνικά και παιδαγωγικά αντικείμενα.

Ο ίδιος ο Claude P. Bruter, πρότεινε την δημιουργία του πάρκου στην Ελλάδα. Το προηγούμενο Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε. ξεκίνησε κάποιες διαδικασίες για την εξεύρεση του χώρου, όμως το Δ.Σ. που εκλέχτηκε τον Μάρτιο του 2013, πάγωσε το θέμα και δεν ασχολήθηκε στο εξής.

Η  Ευρωπαϊκή Ένωση για τα Μαθηματικά και την Τέχνη, συνεχίζει να ενδιαφέρεται για την υλοποίηση του έργου στην Ελλάδα. Καθίσταται επομένως αναγκαία η δημιουργία ενός ομίλου για τα Μαθηματικά και την Τέχνη, παραρτήματος της ESMA, που θα συνεχίσει τις διαδικασίες για την  δημιουργία του Μαθηματικού Πάρκου. Και προς τη  κατεύθυνση αυτή εργαζόμαστε εντατικά, για να μη χαθεί αυτή η ευκαιρία από ολιγωρία.

Βιβλιογραφία – Αρθρογραφία[37]

Aslaksen Helmer (2005) Α Contrarian View of Teaching Mathematics and Art http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=AC381634DC0735EE8E3920809E727B80?doi=10.1.1.65.4521&rep=rep1&type=pdf

Aslaksen Helmer (2003), Book review of Claude P. Bruter (ed.), Mathematics and Art: Mathematical Visualization in Art and Education, Mathematical Intelligencer vol. 25 (2003), no. 4, 83-84

Bruter Claude P. (2002) (Ed.) Mathematics and Art: Mathematical Visualization in Art and Education. New York: Springer-Verlag, pp. 497

Civil rights leader Bob Moses joins FIU at celebration of summer math and civics academy http://news.fiu.edu/2013/08/civil-rights-leader-bob-moses-joins-fiu-at-celebration-of-summer-math-and-civics-academy/64961 (αναρτήθηκε 08/06/2013)

Devaney
 Robert L. The Fractal Geometry of the Mandelbrot Set (Department of Mathematics
 Boston University
Boston) http://math.bu.edu/eap/DYSYS/FRACGEOM/index.html)

Dewey David, Introduction to the Mandelbrot Set (A guide for people with little math experience)  http://www.ddewey.net/mandelbrot/

du Sautoy Marcus (2012, interview with), «Finding maths where you least expect it: Marcus du Sautoy» αναρτήθηκε στις 22/5/2012 http://www.scienceinschool.org/2012/issue23/dusautoy  

du Sautoy Marcus (2012) «Μαθηματικά εκεί που δεν το περιμένεις: συνέντευξη από τον Marcus du Sautoy» μετάφραση: Ευγενία Κυπριώτη http://www.scienceinschool.org/2012/issue23/dusautoy/greek σε (Βλ. αποσπάσματα στο blog «Μαθηματικά και άλλα πολλά» 13/8/2013 http://www.mathsandothers.gr/2013/08/blog-post_13.html

Garii Barbara  (2007) Book Review Reading and Writing the World with Mathematics: Toward a Pedagogy of Social Justice. By Eric Gutstein. New York: Routledge 2006, Issues in Teacher Education vol. 16, nο. 1, Spring 2007, 102-108 http://www1.chapman.edu/ITE/16gariireview.pdf

Gutstein Eric (2006) Reading and Writing the World with Mathematics: Toward a Pedagogy of Social Justice. New York: Routledge.

Moses, R. P., & Cobb, C. E. (2001). Radical equations: Math literacy and civil rights. Boston: Beacon Press

«Να διδάξουν αριθμητική ή δημοσιογραφία στο Νίκο Στραβελάκη» http://www.alfavita.gr/arthron/να-διδάξουν-αριθμητική-ή-δημοσιογραφία-στο-νίκο-στραβελάκη ανακτήθηκε 6-1-2014

«ομορφιά (η) των Μαθηματικών στις Εικαστικές Τέχνες», Δ.Τ. http://www.eugenfound.edu.gr/frontoffice/portal.asp?cpage=RESOURCE&cresrc=2223&cnode=91 Και η ομιλία (στην αγγλική) «ARPAM (the) project» http://arpam.free.fr/THE%20ARPAM%20PROJECT.pdf

Roche Marc (2011) Η Τράπεζα. Πώς η Goldman Sachs κυβερνά τον κόσμο. Μετάφραση: Αριστέα Κομνηνέλλη. Αθήνα: Εκδόσεις Μεταίχμιο http://www.metaixmio.gr/products/1681--goldman-sachs-.aspx

Siu Mee Lin (2001/2002) Mathematics in Art: An Exhibition at the Singapore Art Museum http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/projects/sml.pdf

Stinson David W. (2002) A Critical Discourse Offered: A Review of Radical Equations: Math Literacy and Civil Rights (Book Review) The Mathematics Educator Vol. 12 no. 2, Fall 2002 40-43.

«σπασμένες (οι) συμμετρίες και το Νόμπελ στη Φυσική 2008» αναρτήθηκε από: physics4u | 18/07/2011  http://physics4u.wordpress.com/2011/07/18/έ-ί-όepsil/

Terrel Nicolas (2007), STEM occupations, Occupational Outlook Quarterly, Spring 2007

Φιλοσοφία της Κριτικής Εκπαίδευσης στις Φυσικές Επιστήμες (Κριτική, τ. 9, Ιούνιος 2009) http://skordoulis.blogspot.gr/2014/01/9-2009.html

Wilson David McKay (2013) Do the Math! Ed. The magazine of the Harvard Graduate School of Education. Winter 2013 http://www.gse.harvard.edu/news-impact/2013/01/do-the-math/

Χρονοπούλου Αγγελική «Συμβολή στο διάλογο για το ρόλο των επιστημονικών ενώσεων σε χαλεπούς μάλιστα καιρούς. Περιδιαβαίνοντας την πρόσφατη (11-3-2012) Γ.Σ. της ΕΜΕ» blog “Μαθηματικά Τετράδια” αναρτήθηκε (26-3-2012) http://mathematicatetradia.blogspot.gr/2012/03/11-3-2012.html

Πηγές:

ARPAM (the) project (1991): Association pour la Réalisation et la Gestion du Parc de Promenade et d’ Activités Mathématiques [C.P. Bruter] «Élément pour l'études de faisabilité architecturale et museographique» http://arpam.free.fr/Fais.pdf

ARPAM (the) project http://arpam.free.fr/THE%20ARPAM%20PROJECT.pdf

ARPAM (the) project σελ. 9-[16] (η σελίδα 16 δεν αποτελεί μέρος της προεπισκόπησης αυτού του βιβλίου) στο Bruter Claude P. (2002) http://books.google.gr/books?id=5kbP664SfyoC&pg=PA1&lpg=PA1&dq=ARPAM+PROJECT&source=bl&ots=NVwhx0Gidp&sig=bjvTv_RD_S0GtvUbvObWF39hT6E&hl=el&sa=X&ei=6CTIUujPCOr0ygO6tIHgDg&ved=0CEMQ6AEwBA

Heavenly Mathematics & Cultural Astronomy: http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/heavenly.html

Manga High website http://www.mangahigh.com/en-us/ (προσφέρει δωρεάν, μικρές εκδοχές μαθηματικών παιχνιδιών για διαφορετικές ηλικίες και θέματα. Για ολόκληρα τα παιχνίδια θα πρέπει να εγγραφείτε).

Mathematics in Art and Architecture:  http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/math-art-arch.html

Music (the) of the Primes - Marcus du Sautoy: http://www.youtube.com/watch?v=PgqEaUT8Qo0

NRICH http://nrich.maths.org/stemnrich

http://www.algebra.org/

http://www.algebra.org/whoweare.php

http://www.bls.gov/opub/ooq/2007/spring/art04.pdf

http://www.bls.gov/emp/ep_table_103.htm, (ενημερώθηκε 19-12-2013)

https://www.jiscmail.ac.uk/cgi-bin/webadmin?A0=NRICH-SUPPORT

http://e-tetradio.gr/ στη διεύθυνση: http://www.e-tetradio.gr/article/10070/Na-didaksoun-arithmitiki-i-dimosiografia-ston-Niko-Strabelaki

---

* Η Αγγελική Χ. Χρονοπούλου μαθηματικός, εκδότρια και υπεύθυνη ύλης του επιστημονικού περιοδικού «Σύγχρονη Εκπαίδευση»· είναι Δρ του Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας και έχει μάστερ στην Πολιτική Επικοινωνία και τις Νέες Τεχνολογίες από το Τμήμα Επικοινωνίας και Μέσων Μαζικής Ενημέρωσης (ΕΜΜΕ) του ΕΚΠΑ. Εργάστηκε για 18 χρόνια ως Μαθηματικός στη Δημόσια Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση ενώ δίδαξε στα Πανεπιστήμια Δυτικής Μακεδονίας και Πελοποννήσου.

  Ο Δήμος Βαρόπουλος είναι μαθηματικός και εργάζεται  στη Δημόσια Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Έχει διατελέσει πρόεδρος της Συντακτικής Επιτροπής του περιοδικού Ευκλείδης Α, που εκδίδει η Ε.Μ.Ε., όπου και αρθρογραφεί κατά χρονικά διαστήματα. Επίσης,  μέλος του Δ.Σ. της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (2011-2013), στη θέση του ταμία (2011-2013) και υπεύθυνος του προγράμματος "Μαθηματικά και Τέχνη"

[1] Aslaksen Helmer (2005)

[2] Aslaksen Helmer (2005)

[3] Βλ. για την ενότητα “Mathematics in Art and Architecture” αναλυτικά πληροφορίες και πλάνο μαθημάτων με πηγές, βιβλιογραφία, παραδείγματα

Ενδιαφέρουσα είναι και η προτεινόμενη ενότητα “Heavenly Mathematics & Cultural Astronomy” με πληροφορίες και πλάνο μαθημάτων με πηγές, βιβλιογραφία, παραδείγματα

[4] Θεωρεί ότι ανάλογα θέματα ενδιαφέρουν τα μουσεία γιατί θα προσελκύσουν το κοινό για να παρακολουθήσει σχετικές διαλέξεις.

[5] Από τη συνεργασία του με την ευκαιρία της έκθεσης στο Μουσείο Τέχνης της Σιγκαπούρης θεωρεί ότι μια διάλεξη για τον Escher ίσως δεν γίνει αποδεκτή από ένα μουσείο Τέχνης.

[6] Επίσης θεωρεί ότι ένα μουσείο Τέχνης δεν θα είχε ενδιαφέρον να διοργανώσει μια διάλεξη για το «Mandelbrot set».

Το «Mandelbrot set» είναι fractal που ανακάλυψε ο Benoit Mandelbrot το 1980 από τον οποίο και πήρε το όνομά του. Πολλοί από όσους είδαν αυτή την εικόνα και θαύμασαν την γεωμετρική πολυπλοκότητα της (μαθηματικοί αλλά και μη μαθηματικοί) δεν είναι εξοικειωμένοι με τα μαθηματικά που “κρύβονται” πίσω της. Ωστόσο αν και στην πραγματικότητα είναι πολύπλοκη, η διαδικασία παραγωγής της βασίζεται σε μία απλή εξίσωση που περιλαμβάνει μιγαδικούς αριθμούς. (Βλ. στο: Devaney Robert L.)
 Βλ. για το ευρύ κοινό: Dewey David

[7] Γιατί ο ποδοσφαιριστής David Beckham επέλεξε το νούμερο 23 για τη φανέλα του; Πώς το 17 είναι το κλειδί για την εξελικτική επιβίωση ενός περίεργου είδους όπως το τζιτζίκι;

Σε αυτό το βίντεο ο Marcus du Satoy συζητάει το μυστήριο των πρώτων αριθμών, η ιστορία πίσω από την Υπόθεση του Ρίμαν και η συνεχιζόμενη αναζήτηση για τη λύση [The Music of the Primes].

[8] Βλ. τη συνέντευξη του du Sautoy Marcus (2012), στην Eleanor Hayes και στο περιοδικό Science in School (The European journal for science teachers) http://www.scienceinschool.org/ (Βλ. αποσπάσματα στο blog «Μαθηματικά και άλλα πολλά» 13/8/2013 http://www.mathsandothers.gr/2013/08/blog-post_13.html

[9] Βλ. τη συνέντευξη του du Sautoy Marcus (2012) ό.π.

[10] Βλ. στο: «Οι σπασμένες συμμετρίες και το Νόμπελ στη Φυσική 2008» Αναρτήθηκε από: physics4u | 18/07/2011  http://physics4u.wordpress.com/2011/07/18/έ-ί-όepsil/

[11] «Για να βοηθήσει να συμπληρωθεί η ιστορία πίσω από τα μαθηματικά, η NRICH προσφέρει τόνωση και σχετικές πηγές για να ανακαλύψει κανείς τους τρόπους με τους οποίους τα μαθηματικά, η επιστήμη και η τεχνολογία είναι συνδεδεμένα, με στόχο να προσεγγίσει μαθητές 11 έως 16 ετών και τους καθηγητές τους».

Περιλαμβάνει τις ενότητες: Τα Μαθηματικά συναντούν τη Βιολογία, τη Χημεία, την Αστρονομία, τις Γεωλογικές Επιστήμες, την εφαρμοσμένη Μηχανική.

[12] Βλ. κατάλογο εκπαιδευτικού υλικού για καθηγητές, γονείς και ερευνητές για ανάκτηση https://www.jiscmail.ac.uk/cgi-bin/webadmin?A0=NRICH-SUPPORT

[13] Το Manga High website http://www.mangahigh.com/en-us/ προσφέρει δωρεάν, μικρές εκδοχές μαθηματικών παιχνιδιών για διαφορετικές ηλικίες και θέματα. Για ολόκληρα τα παιχνίδια θα πρέπει να εγγραφείτε.

[14] Βλ. τη συνέντευξη του du Sautoy Marcus (2012) ό.π.

[15] Η εκδήλωση πραγματοποιήθηκε στις 14/11/2013 στο Μέγαρο Μουσικής με τίτλο «Το χρώμα του καιρού και του κλίματος»

[16] Βλ. μια πρώτη ενδεικτική αναφορά στο κείμενό μας (Βλ. Αγγελική Χρονοπούλου http://mathematicatetradia.blogspot.gr/2012/03/11-3-2012.html) που αναρτήθηκε (26-3-2012) στο blog “Μαθηματικά Τετράδια” στην ενότητα «2. Η Γ.Σ. και η συμβολή της στην επιστημονική παραγωγή» σημειώναμε στο σημείο «3. Επιπλέον (...)».

[17] http://www.algebra.org/

[18] Βλ. Moses, R. P., & Cobb, C. E. (2001) και παρουσίαση αναλυτική του βιβλίου από τον Stinson David W. (2002)

Στην παρουσίαση του βιβλίου αναφέρεται και στα θεωρητικά κενά του Moses μια και η περιγραφή του είναι αποτέλεσμα ακτιβισμού για τα δικαιώματα των μαύρων και άλλων μειονοτήτων και όσο αφορά την πρόσβασή τους στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Αλλά ο κριτικός λόγος που καλλιεργεί αναδεικνύει πως η γνώση των Μαθηματικών είναι ένας δρόμος που καθιστά δυνατή την πρόσβαση στην απασχόληση και στον οικονομικό ιστό όλων των μαθητών επομένως κατακτούν και την ιδιότητα του πολίτη (του 21ου αιώνα)...

[19] Βλ. σχετική αναφορά στο: Wilson David McKay (2013) όπου αναφέρεται πως προβλέπεται μέχρι το 2020 να φθάσουν στις 3.5 εκατ. οι θέσεις απασχόλησης στις επιστήμες, τεχνολογία, μηχανική και μαθηματικά.

Επίσης στο Terrel Nicolas (2007), βλ. πρόσφατα στοιχεία (2004-2014) που ανεβάζουν τα ποσοστά στο 22% μέχρι το 2014 (σελ. 32 πίνακας 2)

Επίσης ενθαρρυντικά για τις ΗΠΑ είναι και τα πρόσφατα στοιχεία (2012-2022) http://www.bls.gov/emp/ep_table_103.htm, 19-12-2013.

[20] Βλ. πληροφορίες στο: «Civil rights leader Bob Moses joins FIU at celebration of summer math and civics academy»

[21] http://www.algebra.org/whoweare.php

[22] Βλ. σχετική αναφορά στο: Wilson David McKay (2013) όπου αναφέρεται πως προβλέπεται μέχρι το 2020 να φθάσουν στις 3.5 εκατ. οι θέσεις απασχόλησης στις επιστήμες, τεχνολογία, μηχανική και μαθηματικά.

[23] Βλ. σχετική αναφορά στο: Wilson David McKay (2013)

[24] Για τη Goldman Sachs  και το ρόλο της βλ. στο: Roche Marc (2011)

[25] Και παρουσίαση αναλυτική του βιβλίου από την Garii Barbara  (2007)

[26] Όπως αναφέρεται στο Garii Barbara  (2007) σελ. 103

[27] Φιλοσοφία της Κριτικής Εκπαίδευσης στις Φυσικές Επιστήμες (2009)

[28] Όπως αναφέρεται στο Garii Barbara  (2007) σελ. 103

[29] Όπως αναφέρεται στο Garii Barbara  (2007) σελ. 103

[30] Όπως αναφέρεται στο Garii Barbara  (2007) σελ. 104

[31] «Να διδάξουν αριθμητική ή δημοσιογραφία στο Νίκο Στραβελάκη»

[32] Πηγή http://e-tetradio.gr/

[33] ESMA: European Society for Mathematics and the Arts

[34] Στο ΔΣ της ΕΜΕ την περίοδο 2011-2013 συμμετείχαν (για πρώτη φορά εκλεγμένοι) οι Γιάννης Κερασαρίδης και Αλέξης Παπαϊωάννου υποψήφιοι της “Κίνησης για την Αλλαγή στην ΕΜΕ”.

[35] Βλ. κριτική παρουσίαση ό.π. Aslaksen (2003)

Βλ. το πλήρες πρόγραμμα ARPAM (1991) στην έκθεση του Υπουργείου Έρευνας (Γαλλία) «Élément pour l'études de faisabilité architecturale et museographique» με αναφορά στον πλήρη τίτλο και στο ακρωνύμιο «ARPAM» project: “Association pour la Réalisation et la Gestion du Parc de Promenade et d’ Activités Mathématiques”

και στο βιβλίο του Bruter (2002) (αναφορά ειδικά στο πρόγραμμα ARPAM σελ. 9-[16] (η σελίδα 16 δεν αποτελεί μέρος της προεπισκόπησης αυτού του βιβλίου)

[36]  Ειδική εκδήλωση αφιερωμένη στα Μαθηματικά (14-3-2012) με τίτλο: «Η ομορφιά των Μαθηματικών στις Εικαστικές Τέχνες» Βλ. διευκρινιστικά στο Δ.Τ. http://www.eugenfound.edu.gr/frontoffice/portal.asp?cpage=RESOURCE&cresrc=2223&cnode=91 Και την ομιλία (στην αγγλική) «The ARPAM project».

[37] Οι ηλεκτρονικές διευθύνσεις που αναγράφονται στη βιβλιογραφία – αρθρογραφία και πηγές προσπελάστηκαν το διάστημα από 6.12.13 μέχρι και 10.1.14

Το κείμενο που προηγήθηκε είναι η πλήρης εισήγηση η οποία ανακοινώθηκε (με power point) στις 29/3/2014 στην 6η Διεθνή Μαθηματική Εβδομάδα που διοργάνωσε το Παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας της ΕΜΕ (26-30/3/2014) ενώ στα πρακτικά (λόγω του περιορισμού των σελίδων) η εισήγηση αναπροσαρμόστηκε με βάση τις προσφερόμενες σελίδες.